白光干涉的光谱域深度测量：从光谱到深度谱

光谱域白光干涉（spectral-domain white-light interferometry，也叫 spectral-domain OCT 的 A-scan）用一次光谱采集同时得到整条光路上所有反射面的位置，不需要机械扫描。本文把它的原理、分辨率与量程、处理流程一次讲清楚，后面几篇笔记都以这里的记号为基础。

1. 记号与约定#

• 波长 $\lambda$，波数 $\sigma = 1/\lambda$（单位 $\mu\mathrm{m}^{-1}$），角波数 $k = 2\pi\sigma$。
• 反射面的几何深度 $z$，所在介质折射率 $n$。
• 对光谱 $I(\sigma)$ 作傅里叶变换，共轭变量记为 $x$，单位是长度，等于往返光程差（OPD）。
• 本站统一把深度轴定义为 $z_{\mathrm{app}} = \mathrm{OPD}/2$（"表观深度"）。空气中它等于几何深度，介质中等于 $n_g d$（$n_g$ 为群折射率，见下）。

2. 干涉光谱的形式#

设参考光场幅度为 $r_0$，各反射面的幅度为 $r_j$、深度为 $z_j$，光源光谱包络为 $S(\sigma)$，则光谱仪记录的是

$$I(\sigma) = S(\sigma)\,\Big|\, r_0 + \sum_{j} r_j\, e^{\,i\,\varphi_j(\sigma)} \Big|^2, \qquad \varphi_j(\sigma) = 4\pi\,\sigma\, n(\sigma)\, z_j .$$

展开后是三类项：

$$I(\sigma) = S(\sigma)\Big[\, r_0^2 + \sum_j r_j^2 \;+\; 2 r_0\sum_j r_j \cos\varphi_j \;+\; 2\sum_{i<j} r_i r_j \cos(\varphi_i - \varphi_j) \Big].$$

• 第一类是直流项（不含条纹）。
• 第二类是参考与各反射面之间的干涉，条纹频率正比于 $z_j$，这是我们要的信号。
• 第三类是反射面两两之间的干涉（自相关项），会在 $|z_i - z_j|$ 处出现假峰。

对 $I(\sigma)$ 做傅里叶变换，第 $j$ 个条纹分量在

$$x_j = \frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\varphi_j}{\mathrm{d}\sigma} = 2\, n_g\, z_j, \qquad n_g = n - \lambda\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\lambda}$$

处出现峰。所以宽带测量读到的是群折射率 $n_g$ 乘几何深度，不是相位折射率 $n$。这一点对透过硅测量 TSV 深度很关键（见 TSV 深度的白光干涉测量）。

3. 分辨率与量程#

设光谱覆盖 $\lambda_{\min}$ 到 $\lambda_{\max}$，在波数上的宽度

$$\Delta\sigma = \frac{1}{\lambda_{\min}} - \frac{1}{\lambda_{\max}} .$$

对 $N$ 个在波数上均匀分布的采样点：

$$\delta z = \frac{1}{2\, n_g\, \Delta\sigma}, \qquad z_{\max} = \frac{1}{4\, n_g\, \delta\sigma_{\mathrm{step}}} = \frac{N-1}{2}\,\delta z , \qquad \delta\sigma_{\mathrm{step}} = \frac{\Delta\sigma}{N-1}.$$

两个式子的含义：

• 分辨率只由带宽决定，与采样点数无关。带宽越宽越好。
• 量程等于 $(N-1)/2$ 个分辨单元。点数固定时，分辨率和量程互相绑定：要看更深，就得增加像素数，或者接受更粗的分辨率。

几个典型波段（空气中，$N = 1024$）：

可见光宽谱给亚微米分辨率，但量程只有 0.2 mm 量级；近红外窄带反过来。透过硅测量时，表中数值要再除以 $n_g\approx 3.6$ 才是硅里的几何深度。

$\delta z$ 是一个 FFT 格点的间距（名义分辨率）。实际峰宽还取决于窗函数和光源光谱形状。在本文的仿真（400–700 nm，平滑的高斯型光源包络）里，单个反射面的峰半高全宽（FWHM）是：

• 矩形窗：0.59 μm，约 1.3 倍名义值；
• Hann 窗：0.96 μm，约 2.1 倍名义值。

4. 处理流程#

1. 扣背景。 暗噪声、参考光谱（或无样品时的光谱）先扣掉，得到干涉项。
2. 重采样。 光谱仪的像素在波长上均匀，FFT 要求在波数上均匀。用三次样条把 $I(\lambda)$ 插值到均匀的 $\sigma$ 网格。
3. 去慢变基线。 光源包络和直流项会在零深度附近漏出一大片，用低阶多项式或滑动平均去掉。
4. 加窗。 抑制旁瓣，代价是峰变宽（见第 6 节）。
5. 补零 FFT。 补零 4–8 倍只是对谱做内插，让峰形更平滑、峰位更好找，并不提高分辨率。
6. 取模、找峰。 对峰做抛物线内插，得到亚格点的位置。

import numpy as np
from scipy.interpolate import CubicSpline

def depth_profile(lam_um, I, pad=8):
    """lam_um: wavelengths in um (ascending); I: background-corrected spectrum."""
    sigma = 1.0 / lam_um                                 # 1/um, descending
    s = np.linspace(sigma.min(), sigma.max(), len(I))    # uniform in sigma
    Iu = CubicSpline(sigma[::-1], I[::-1])(s)            # 1) resample
    t = np.linspace(-1, 1, len(Iu))
    x = Iu - np.polyval(np.polyfit(t, Iu, 3), t)         # 2) remove slow baseline
    x = x * np.hanning(len(x))                           # 3) window
    A = np.abs(np.fft.rfft(x, n=pad * len(x)))           # 4) zero-padded FFT
    opd = np.fft.rfftfreq(pad * len(x), d=s[1] - s[0])   # conjugate of sigma = OPD (um)
    return opd / 2, A                                    # z_app = OPD / 2


def parabolic_peak(z, A):
    """Sub-bin peak position from the three samples around the maximum."""
    i = int(np.argmax(A))
    y0, y1, y2 = A[i - 1], A[i], A[i + 1]
    return z[i] + 0.5 * (y0 - y2) / (y0 - 2 * y1 + y2) * (z[1] - z[0])

5. 为什么必须先重采样#

偷懒的做法是直接对按波长均匀的数据做 FFT。结果是条纹频率沿光谱"啁啾"：长波一侧条纹稀，短波一侧条纹密，傅里叶变换没法把它们聚成一个尖峰。

在上面的仿真里：

不仅位置偏了，峰也塌成一个包。深度越大，条纹越密，问题越严重。

6. 常见的坑#

• 窗函数是在分辨率和旁瓣之间换。 矩形窗峰最窄，但第一旁瓣只比主峰低约 13 dB，强反射面的旁瓣会淹没旁边的弱信号；Hann 窗旁瓣约 −31 dB，峰宽约 1.6 倍（上面实测 0.59 → 0.96 μm）。弱信号（比如深孔底部）旁边有强反射面时，宁可牺牲分辨率。
• 混叠。 超过量程的反射会折回量程内，变成"假深度"，见 薄层标准具伪影。
• 自相关项。 多个反射面时，两两之间的干涉会在差值深度处冒出峰（上图 25 μm 处）。反射面一多，容易把它当成真实结构。
• 色散。 介质里 $n(\sigma)$ 不是常数，相位不再严格线性于 $\sigma$，峰会展宽。介质越厚、带宽越宽越明显。可以在 FFT 前乘以二次相位项做数值补偿（需要解析信号）。
• 波长轴标定。 波长轴有常数偏移 $\delta\lambda$ 时，深度读数的相对误差约为 $2\,\delta\lambda/\bar\lambda$。仿真验证：1 nm 偏移、深度 100 μm 时读数偏小 0.41%（约 0.4 μm）。需要亚微米的绝对精度时，光谱仪必须用谱线灯标定，最好用已知厚度的标准件再标一遍。